B. Russell; Sayı Nedir?
“Felsefe tarihi boyunca sayının ne olduğu çokca sorulmuş; ama buna doğru yanıt ancak 1884’de Frege’nin Aritmetiğin Temelleri (Die Grundlagen der Arithmetik) betiğinde verilmiştir. Çok önemli olan bu çalışma kısacık ve kolay anlaşılır olmasına karşın, yayınlandığı sırada hemen hiç dikkate alınmamış, 1901 de bu satırların yazarınca bulgulanana değin içerdiği sayı tanımı öğrenilememiştir” diyerek başlıyor metnine Bertrand Russell.
Sayının ne olduğu araştırılırken belirlenmesi gereken ilk şey, çalışmanın terimleridir. Felsefeciler “sayı”nın ne olduğunu anlatmaya giriştiklerinde, çoğun, gerçekte çok ayrımlı bir·şey olan, “çokluk”u tanımlamaya çalışırlar. “İnsan”ın insanların ayırıcı niteli olduğu gibi, “sayı” da sayıların ayırıcı nitelidir. Bir “çokluk” sayının değil belirli bazı sayıların örneğidir. Örneğin, bir insan üçlüsü 3 sayısının bir örneğidir ve 3 sayısı ise sayının bir örneğidir; ama “üçlü”, sayının bir örneği değildir. Bu özel ilksel ve sözü edilmeye değer görülmeyebilir, ama birkaç ayrıksı felsefeci dışındakiler için bunun ince bir ayrım olduğu kanıtlanmıştır.
Belirli bir sayı, bu sayıyı içeren herhangi bir terimler “derlemi (kolleksiyonu)” ile özdeş değildir: 3 sayısı Leyla, Asuman ve Bedriye’den oluşan üçlü ile özdeş değildir. 3 sayısı bütün üçlülerde ortak olarak bulunan ve bunları öbür “seçki”lerden ayıran bir şeydir. Bir sayı, belirli seçkileri, yani “o sayıda olanları” niteleyen bir şeydir.
"Derlem (kolleksiyon)" yerine "sınıf", "küme" terimleri kullanılıyor. Matematikte aynı şey için kullanılan "toplam" ve "ayrımlı çokluk" gibi başka terimler de var. “Daha sonra üzerinde çok durulacağı için `sınıf´ konusuna, şimdi kısaca değineceğiz; çünkü hemen belirtilmesi gereken bazı durumlar var” diyor Russell.
Bir “sınıf” iki yolla tanımlanabilir: Sınıfın ögeleri sayılabilir; "bu sınıf Leyla, Asuman ve Bedriye’den oluşur" dediğimizdeki gibi veya "Sanat Tanımı Topluluğu katılanları" gibi sınıfı bir “tanımlayıcı nitel”i ile belirtebiliriz. Sayımı gerektiren tanıma "genişletme ile tanım"; tanımlayıcı nitelin anlatıldığı tanıma "yoğunlaştırma ile tanım" denir. Bu iki tanımdan "yoğunlaştırma ile tanım" mantıksal olarak daha asıldır; çünkü genişletme ile yapılan tanım yoğunlaştırma ile yapılana indirgenebilir. Yoğunlaştırma ile yapılan tanım ise kuramsal olarak da, genişletme ile yapılan tanıma indirgenemez.
Leyla, Asuman ve Bedriye’nin oluşturduğu sınıfın ögelerinin her birinin evrende başka hiçbir şeyde bulunmayan belirli bir niteli vardır; bu da Leyla veya Asuman veya Bedriye’den biri olmaktır. Bu nitel, Leyla, Asuman ve Bedriye’den oluşan sınıfın “yoğunlaştırma ile” yapılan bir tanımını vermekte kullanılabilir. Şöyle bir tamdeyimi (formülü) ele alalım: "x Leyla’dır veya x Asuman’dır veya x Bedriye’dir". Bu tamdeyim yalnızca üç x için yani Leyla, Asuman ve Bedriye için doğru olacak. Bu, üç insandan oluşan sınıfın ögelerine özgü ortak bir şey atanması olarak alınabilir. Benzer bir işlem genişletilmiş olarak verilmiş herhangi bir sınıfa kolayca uygulanır.
Bir sınıf konusunda, uygulamada ögelerini numaralandıramasak da, çoğun, büyük ölçüde bilgi edinebiliyoruz. Gerçekten, sınıfların her biri konusunda çok sayıda şey bilinse de hiçbir insan “bütün insanlar”ı veya yalnızca “İstanbul’da yaşayan insanları” sayamaz. Bu kadarı bile, bir sınıf konusundaki bilgi için, “genişletme” yolu ile (ögelerini sayarak) yapılan tanımın zorunlu olmadığını göstermek için yeterli. “Sonsuz sınıfları” dikkate aldığımızda ise, numaralandırmanın yalnızca sonlu bir süre yaşayanlar için kuramsal olarak bile olanaklı olmadığını anlıyoruz.
“Doğal sayılar”ın yani 0, 1, 2, 3 ve öbürlerinin tamamını sayamayız. Bir yerde kendimizi "ve öbürleri" diyerek sınırlandırmak zorunda kalırız. Bütün “kesirleri”veya bütün “köklü anlatımları” veya herhangi bir “sonsuz seçkinin” hepsini saymak olanaksızdır. Dolayısı ile bunun gibi bütün sınıflar konusundaki bilgimiz yalnızca “yoğunlaştırma ile yapılan” bir tanımlamadan elde edilebilir.
Sözü edilen bilgiler sayının tanımını aramamız ile bağıntılıdır: Sayılar bir sonsuz derlem (kolleksiyon) oluşturur ve numaralandırma yolu ile tanımlanamaz. Sonra, belirli sayıda ögeden oluşan sınıflar sonsuz bir sınıf oluşturur; örneğin evrendeki üçlülerden oluşan bir sonsuz sınıf vardır (böyle olmasa, olanaklı olmasına karşın, evrendeki nesnelerin toplam sayısı sonlu olurdu). Bu neden ile bir sonsuz sınıftaki öge sayısından söz edilebilmesi; dahası böyle bir sınıfın “yoğunlaştırma ile” yani bütün ögelerinde ortak ve onlara özgü bir nitel ile” tanımlanabilmesi için sayının “sonsuz sayısı”nı içeren bir tanımının yapılması gerekiyor.
Bir sınıf ve onun tanımlayıcı niteli, birçok amaç için, uygulamada, birbiri yerine kullanılabilir. Sınıf ile tanımlayıcı nitel arasındaki en önemli ayrım şudur: Verilen bir sınıfın ögelerini içeren yalnızca bir tek sınıf vardır; ama, her zaman, verilen bir sınıfın tanımlanabileceği birden çok ayrımlı nitel bulunur. İnsanlar “tüysüz iki ayaklılar” veya “akıllı hayvanlar” olarak tanımlanabilir. İşte “sınıf”ı kullanışlı yapan bu, “tanımlayıcı nitelin hiçbir zaman bir tek olmaması” gerçeğidir.
“Sınıflar, tanımlayıcı nitellerden kurulmuş mantıksal kurgulardır”; ama bizim, sınıflara gerçekte varmış gibi davranmakta direşmemiz sayıyı anlamamızı yalınlaştıracak (diyor Russell). Sayı, belirli seçkileri, yani belirli sayıda ögesi olan sınıfları bir araya getirme yoludur. Örneğin, bütün ikilileri bir destede, bütün üçlüleri bir başka destede toplayabiliriz. Böylece, her biri belirli sayıda öge içeren bütün seçkilerden oluşan desteler elde ederiz. Her deste, ögeleri seçkiler olan bir sınıftır, yani seçki sınıflarıdır; dolayısı ile bunların her biri, sonsuz ögeden oluşan bir “sınıflar sınıfı” olur.
Örneğin, bütün ikililerden oluşan deste bir sınıflar sınıfıdır; her ikili iki ögeli bir sınıftır ve bütün ikililerin destesi her biri iki ögeli sınıflardan oluşan ve sonsuz sayıda ögesi olan bir sınıftır. İki seçkinin aynı destede olup olmadığının nasıl denetleneceği konusunda akla gelen ilk yanıt seçkilerden her birinin kaç ögesi olduğunu saymaktır. Seçkilerde aynı sayıda öge var ise aynı desteye koyulabilir. Ama bu, sayıları tanımladığımızı veya bir seçkinin kaç ögesi olduğunu bulmayı bildiğimizi varsayar.
Saymaya çok alışık olduğumuzdan, bir sınıfın kaç ögesi olduğunu bulmayı bildiğimiz varsayımını kolaylıkla onaylıyoruz. Gerçekte, mantıksal olarak, çok karmaşık bir işlem olan “sayma”, yalnızca sınıf sonlu ise kaç tane ögesi olduğunun bulunuşunun sonucudur. “Bizim sayı tanımımız bütün sayıların sonlu olduğunu önceden onaylamamalıdır” diyor Russell ve ayrıca, “döngüye düşmeksizin, saymayı sayıları tanımlamakta kullanamayız; çünkü sayma işleminde sayılar kullanılıyor” diye sürdürüyor. Bu neden ile iki sınıfın aynı sayıda ögesi olduğuna başka bir yöntem ile karar verilmelidir.
“Sınıfların ögelerini saymaya çalışmak yerine iki sınıfın aynı sayıda ögesi olup olmadığını bulmak mantıksal olarak daha yalındır. Örneğin (dünyanın herhangi bir yerinde çok kocalılık veya çok karılılık olmasaydı), herhangi bir anda, dünyadaki karıların sayısı, kocaların sayısı ile aynı olurdu. Buna inanmamız için ne oybirliğine ne de kocaların ve karıların gerçek sayısını bilmeye gereksinmemiz olur. Bu iki sınıfın öge sayısının aynı olması gerektiğini biliriz. Çünkü her kocanın bir karısı ve her karının bir kocası vardır. Bu bağıntı bire birdir” diyor Bertrand Russell.
x in y İle belirli bir bağıntısı olduğunda, (1) başka hiçbir x teriminin y ile aynı bağıntısının olmadığı ve (2) x in y dışında herhangi bir y terimi ile aynı bağıntısının olmadığı durumlarda, söz konusu bağıntının “bire bir” olduğu söylenir. Bu iki koşuldan yalnızca birincisi tam olarak gerçekleştiğinde, bağıntıya “bire çok”; yalnızca ikincisi tam olarak gerçekleştiğinde ise bağıntıya “çoka bir” denir. Bu anlatımlarda 1 sayısının kıllanılmadığına dikkat edilmelidir. Örneğin, baba oğul bağıntısı “bire çok”; oğul baba bağıntısı “çoka bir”; en büyük oğul baba bağıntısı ise “bire bir”dir.
n Belrli bir sayı ise, n nin n + 1 ile bağıntısı “bire bir”dir; n nin 2n veya 3n ile bağıntısı da öyledir. Yalnızca pozitif sayıları düşündüğümüzde, n nin n kare ile bağıntısı “bire bir” dir; ama negatif sayılar da eklendiğinde, n ve -n nin karesi aynı olduğu için bağıntı “çoka bir” olur. Verdiğimiz örnekler, matematiğin ilkelerinden, yalnızca sayılar ile bağıntılı olarak değil, aynı zamanda, birçok başka bağlamda da büyük önemi olan “bire bir”, “bire çok” ve “çoka bir” bağıntı kavramlarını açığa kavuşturmaya yardımcı olur (diyor Russell).
Bir sınıfın ögelerini öbür sınıfın bir ögesi ile bağıntılayan, tıpkı evlilik bağıntısının kocaları karılar ile bağıntılaması gibi, bir bağıntı var ise bu iki sınıfın “benzer” olduğu söylenir. Bir şey ile veya başka bir şey ile verili bir bağıntısı olan ögeler sınıfına bu bağıntının “tanım kümesi” denir. Babalar baba çocuk bağıntısının tanım kümesidir. Kocalar koca karı bağıntısının tanım kümesidir. Karılar karı koca bağıntısının tanım kümesini oluşturur ve koca ile karı beraberce “evlilik” bağıntısının tanım kümesidir. Karının kocası ile olan bağıntısı, kocanın karısı ile olan bağıntısının “tersi”dir.
“Ters bağıntı”nın örnekleri şöyle sürdürülebilir: Daha küçük daha büyüğün tersidir, daha sonra daha öncenin tersidir v. b. Genel olarak, bir bağıntının tersi, bağıntı x ile y arasında geçerli olduğunda, y ile x arasında da geçerli olan bağıntıdır. Bir bağıntının “ters tanım kümesi”, tersinin tanım kümesidir. Koca karı sınıfı karı koca arasındaki bağıntının ters tanım kümesidir. Şimdi, benzer konusunu şöyle tanımlayabiliriz (diyor Russell): İki sınıf arasındaki bir “bire bir” bağıntıda, bir sınıf “tanım kümesi” öbürü “ters tanım kümesi” oluyor ise bu iki sınıf "benzerdir".
Şunları kanıtlamak kolay: (1) Her sınıf kendisine benzerdir, (2) eğer bir α sınıfı bir β sınıfına benzer ise β da, α ya benzerdir, (3) eğer α, γ ya ve β, γ ya benzer ise α da, γ ya benzerdir. Eğer bir bağıntıda bu özellerden (1) özeli var ise “yansıyan”, (2) özeli var ise “bakışımlı”, (3) özeli var ise “geçişken”dir. Açıktır ki, tanım kümesinde bakışımlı ve geçişken olan bir bağıntı, aynı zamanda “yansıyan”dır. Bu özellerde olan bağıntılar önemli bir tür oluşturur ve “benzerlik” de bu bağıntılardan biridir.
“Benzer” iki sonlu sınıfın aynı sayıda ögesi olduğunu sağduyusal olarak apaçık biliyoruz. “Sayma” eylemi sayılacak nesneler sınıfı ile (0 dışındaki) doğal sayılar sınıfı arasında “bire bir” bağıntı kurulmasıdır. Buna göre sağduyumuzun vardığı sonuç, sayılacak sınıfta sayımda kullanılmış olan son sayı değin sayıda nesnenin olduğudur. Gene biliyoruz ki, kendimizi sonlu sayılar ile sınırlarsak, 1 den n ye değin n sayı vardır. Dolayısı ile “bir seçkinin sayımında kullanılan son sayı, seçki sonlu ise, seçkideki öge sayısını veren n sayısıdır” diyebiliriz.
Sayma yalnızca sonlu seçkilere uygulanabilir olması bir yana iki benzer sınıfta aynı sayıda öge bulunduğu varsayımına dayanır. Örneğin, 10 nesneyi saymak için yaptığımız şey bu nesneler sınıfının 1 den 10 a değin olan sayılar sınıfına benzer olduğunu göstermektir. Benzerlik sayma işleminde mantıksal olarak önceden varsayılmıştır ve bu, daha az bilinmesine karşın, mantıksal olarak daha ilkseldir. Sayma işleminde sayılacak nesnelerin bir, iki, üç gibi bir sıra gözetilerek sayılması gerekir; ama bu sıralama sayının bir asıl özeli değildir.
“Benzerlik”de bir “sıralama” zorunlu değildir. Örneğin, aralarında bir öncelik sırası belirlemek zorunda kalmadan, kocaların sayısının karıların sayısıyla aynı olduğunu gördük. Benzer olan sınıfların sonlu olması da gerekmez. Örneğin, bir yanda (0 dışındaki) doğal sayıları, öbür yanda payı 1 olan kesirleri ele alalım: 2 ile 1/ 2 , 3 ile 1/ 3 vb. arasında bağıntı kurabileceğimiz açık. Böylece iki sınıfın benzer olduğunu kanıtlarız. Böylece, "benzerlik" kavramını iki seçkinin aynı desteye değgin olup olmamaları konusunda karar vermekte kullanabiliriz.
Ögesi olmayan sınıfları içeren bir deste oluşturmak istediğimizde bu 0 sayısına değgin olacaktır. Bir tek ögesi olan bütün sınıflardan oluşan bir deste istediğimizde bu 1 sayısına değgindir. Sonra 2 sayısına değin bütün çiftlerden oluşan bir deste, bütün üçlülerden bir deste v.b. Herhangi bir seçkinin değgin olacağı destenin, ona benzer bütün seçkilerin sınıfı olduğunu belirleyebiliriz. Örneğin, bir seçkinin üç ögesi var ise, ona benzeyen bütün seçkilerin sınıfının “üçlüler sınıfı” olacağını görmek kolaydır ve bir seçkinin öge sayısı ne olur ise olsun, ona benzeyen seçkilerin aynı sayıda ögesi olacak. Bunu, “aynı sayıda ögesi olmanın” bir tanımı olarak onaylayabiliriz. Kendimizi sonlu seçkiler ile sınırladığımız sürece bunun kullanışlı sonuçlar vereceği açık.
Sayının güncel tanımına geldiğimizde, ilk bakışta mantığa aykırıymış gibi görünen bir şeyden kaçınamıyoruz. Biz, doğal olarak, çiftler sınıfının 2 sayısından ayrımlı bir şey olduğunu düşünürüz. Çiftler sınıfı konusunda hiçbir kuşkumuz yok ve bu sınıfın tanımlanması da zor değil. Ama, 2 sayısı, gerçekten varolup olmadığını ya da insanlarca mı bulgulandığını kesin olarak bilemeyeceğimiz, fizikötesel bir şeydir. Bu neden ile sorunlu 2 sayısını kullanmak yerine sakıncasız çiftler sınıfı ile yetinmemiz daha güvenlidir. Buna göre şu tanımı yaptık: “Bir sınıfın sayısı, ona benzer olan bütün sınıfların sınıfıdır”. Bu durumda çiftlerin sayısı bütün çiftlerin sınıfı olacaktır.
Tanımımıza göre de bütün çiftlerin sınıfı, 2 sayısı olacaktır. Bu tanım kesin ve kuşkusuz olmanın güvencesini veriyor ve böyle tanımlanmış sayıların bizim sayılarda olmasını beklediğimiz bütün özellerinin olduğunu göstermek zor değil. Şimdi sayıları genel olarak benzer olmanın sınıfları içinde topladığı herhangi bir deste gibi tanımlamayı sürdürebiliriz: “Bir sayı, herhangi ikisinin birbirine benzer olduğu ve destenin dışında destenin içindekine benzer olanın bulunmadığı, bir sınıflar destesidir”.
Bir sayı “bir ögesinin sayısı olan herhangi bir derlemdir” veya daha da yalın olarak: Sayı, “bazı sınıfların sayısı olan herhangi bir şeydir”. Böyle bir tanım söylendiğinde döngüsel gibi gelir; ama gerçekte böyle değildir. Biz, herhangi bir mantıksal yanlışa düşmeksizin, sayıyı, genel olarak ,"verilen bir sınıfın sayısı" anlatımı ile tanımlayabiliriz. Gerçekte bu tür tanımlar sıkça kullanılıyor. Örneğin, babalar sınıfı; önce birinin babası olmanın ne olduğu tanımlandıktan sonra, “birilerinin babası olanların tamamı” anlatımı ile tanımlanacaktır.
Örneğin, “kare sayılar”ı tanımlamak istersek, önce “biri öbürünün karesidir” demek ile ne söylemek istediğimizi anlatmalı ve daha sonra kare sayıları, “başka sayıların karesi olanlar” diye tanımlamalıyız. Bu tür bir işlem sıkça uygulanıyor ve bunun geçerli olduğunu ve çoğun zorunlu olduğunu kavramak önemli. Şimdi elimizde sonlu seçkilerde uygulanabilecek bir sayı tanımımız var. Geriye bunun sonsuz seçkilerde nasıl uygulanabileceğini görmek kalıyor. Ama önce "sonlu" ve "sonsuz" ile ne anlatmak istediğimizi kararlaştırmalıyız ki, bunu da bu yazının sınırları içinde yapamayız (diyor Russell). ----------------—